Анна Кошкина окончила Калининградский областной музыкальный колледж имени С. В. Рахманинова (класс Светланы Корогодиной) и Московскую консерваторию (класс Бориса Андрианова), затем продолжила обучение в Берлинском университете искусств (класс профессора Данжуло Ишизаки). Участвовала в мастер-классах Давида Герингаса, Ивана Монигетти, Наталии Шаховской, Джованни Соллимы, Йенса Петера Майнца, Трольса Сване, Стефана Попова, Леонида Горохова, Александра Рудина, Владимира Тонхи, Александра Чаушяна, Клаудио Бохоркеса, Мартти Роуси, Гавриила Липкинда и других знаменитых виолончелистов и педагогов.

​

Лауреат всероссийских и международных конкурсов, в числе которых Young Virtuosos в Болгарии, Riga Classis Strings в Латвии, Classical Strings Vienna в Австрии.

​

Принимала участие в Международном фестивале «Москва встречает друзей» фонда Владимира Спивакова, VIVARTE и VIVACELLO, «Музыкальная экспедиция», виолончельном фестивале в Клайпеде, «Возвращение» на о. Хийумаа (Эстония), имени Пабло Казальса в Праде (Франция). Выступала в ансамбле с Юлианом Рахлиным, Вильде Франг, Шмуэлем Ашкенази, Барнабашем Келеменом, Алиной Погосткиной, Борисом Андриановым и другими известными музыкантами.